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CONJUNTOS NUMÉRICOS
Los números se dividen en grupos o conjuntos; donde cada uno contiene al anterior y es más completa que él y con mayores posibilidades en sus operaciones.
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Aquí un enlace para aprender más de conjuntos numéricos:
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NÚMEROS COMPLEJOS O IMAGINARIOS
¿CÓMO SURGIERON?
La primera referencia conocida a raíces cuadradas de números negativos proviene del trabajo de los matemáticos griegos, como Herón de Alejandría en el siglo I antes de Cristo, como resultado de una imposible sección de una pirámide.
Los complejos se hicieron más patentes en el Siglo XVI, cuando la búsqueda de fórmulas que dieran las raíces exactas de los polinomios de grados 2 y 3, como por ejemplo x2 + 1 = 0, se encontraron con x=±−1. No existe ningún número real x cuyo cuadrado sea -1, por lo que los matemáticos de la antigüedad concluyeron que no tenía solución. Sin embargo, a mediados del siglo XVI, el filósofo y matemático italiano Gerolamo Cardano y sus contemporáneos comenzaron a experimentar con soluciones de ecuaciones que incluían las raíces cuadradas de números negativos. Por ejemplo, Cardano sugirió que el número real 40 se puede expresar como:
El matemático suizo Leonhard Euler introdujo el moderno símbolo i para Á en 1777 y formuló la expresión que relaciona cuatro de los números más importantes en matemáticas:
EULER El matemático alemán Carl F. Gauss, en su tesis doctoral de 1799, demostró su famoso teorema fundamental del álgebra, que dice que todo polinomio con coeficientes complejos tiene al menos una raíz compleja. En 1825, continuando con el estudio de las funciones complejas, el matemático francés Augustin L. Cauchy generalizó el concepto de integrales definidas de funciones reales para funciones de variable compleja.
GAUSS
De esto se puede decir que aunque sólo estaban interesados en las raíces reales de este tipo de ecuaciones, se encontraban con la necesidad de lidiar con raíces de números negativos. El término imaginario para estas cantidades fue acuñado por Descartes en el Siglo XVII y está en desuso. La existencia de números complejos no fue completamente aceptada hasta la interpretación geométrica que fue descrita por Wessel en 1799, redescubierta algunos años después y popularizada por Gauss. La implementación más formal, con pares de números reales fue dada en el Siglo XIX. Cardano al extender la operación aritmética raíz cuadrada a cualquier número que aparecía al resolver ecuaciones cuadráticas. Como lo plantea, en el capítulo 37 de "Ars Magna" (1545) y resuelve el problema de dividir 10 en dos partes cuyo producto sea 40. La ecuación es x(10-x)=40. Obtiene las raíces y y entonces dice: "descartando las torturas mentales que lleva consigo" multiplicar y ; el producto es 25-(-15) o 40. Entonces declara "así progresa la sutileza aritmética cuyo fin, como se ha dicho, es tan refinado como inútil". Cardano llego a enredarse más con los números complejos en su solución de ecuaciones cúbicas. Bombelli también consideró los números complejos en la solución de ecuaciones cúbicas y formuló prácticamente en la forma moderna las cuatro operaciones con estos números; pero el aún los consideraba como inútiles y "sofisticados". Albert Girard reconoció los números complejos al menos como soluciones formales de ecuaciones. En "L'Invention nouvelle en l'algèbre" dice, "uno podría decir: ¿qué uso tienen estas soluciones imposibles (raíces complejas)?. Yo respondo: para tres cosas -por la certidumbre de las leyes generales, por su utilidad, y porque no hay otras soluciones." Sin embargo los puntos de vista avanzados de Girard no tuvieron influencia.
Descartes también rechazó las raíces complejas y acuñó el término "imaginario". Dice en "La Géométrie", "ni las verdaderas ni las falsas (negativas) raíces son siempre reales; en ocasiones son imaginarias." Argumenta que, mientras que las raíces negativas pueden al menos ser hechas "reales" transformando la ecuación dónde aparecen en otra cuyas raíces sean positivas, esto no se puede hacer para las raíces complejas. Descartes hizo una distinción más clara que sus predecesores entre raíces reales e imaginarias de las ecuaciones.Incluso Newton no consideraba las raíces complejas como significativas, quizás porque en su época carecían de significado físico. De hecho dice en "Universal Arithmetic", "Pero es justo que las Raíces de ecuaciones tienen que ser a menudo imposibles (complejas), para que no se tengan que mostrar casos de Problemas que son imposibles como si fueran posibles." es decir, problemas que no tienen una solución real física o geométricamente tendrían raíces complejas.
La falta de claridad sobre los números complejos está ilustrada por la declaración de Leibniz, "El Espíritu Divino descubrió una sublime salida en esa maravilla del análisis, ese portento del mundo ideal, esa ambivalencia entre ser y no ser que nosotros llamamos raíz imaginaria o unidad negativa". Aunque Leibniz trabajó formalmente con números complejos no entendía su naturaleza.
FUENTES:
http://enciclopedia.us.es/index.php/N%C3%BAmero_complejo
http://www.picasa.org/downloads/matematicas/numeros/node6.html
